Proyectos I+D
Project PID2023-152673NB-I00 AA:LEG
Álgebras con Aplicaciones: Lie - Evolución - Grafos.
Of National scope.
Este proyecto está enmarcado en varios tipos de álgebras (álgebras de Lie, álgebras de evolución y álgebras de grafos), todas ellas estructuras algebraicas con multitud de aplicaciones, y pretende avanzar en su conocimiento ya sea con modelos nuevos, con técnicas nuevas o con ejemplos nuevos. En la línea Lie el principal objetivo es explotar la simetría (realizada mediante graduaciones por grupos abelianos potencias de Z2 y de Z3) para obtener modelos por un lado de las álgebras excepcionales (simples) y por otro de ciertas álgebras de Lie solubles y nilpotentes. Lo primero es importante porque lo es aquello que contribuya a entender las álgebras excepcionales, desde g2 a e8, y lo segundo porque esas álgebras ni siquiera se conocen! Y no hay pistas sobre una teoría de estructura. Aprovechando las graduaciones como guía para deformar trabajaremos en álgebras muy grandes. Además queremos proponer bases de las álgebras excepcionales nuevas e interesantes, por ejemplo ortogonales: las graduaciones siempre están en el trasfondo de la elección de bases. Una idea novedosa como la de anillo grupo torcido posibilitaría esto, así como hacer dichas álgebras accesibles a matemáticos y físicos no necesariamente expertos. A su vez, nos interesa acercarnos al mundo geométrico y obtener resultados en geometría excepcional, en este proyecto concretamente en subvariedades totalmente geodésicas de espacios simétricos, que se corresponden con la estructura algebraica de subtriple de Lie de un triple (parte impar de una Z2-graduación de un álgebra de Lie) así que geometría y álgebra están aquí particularmente intrincados. En la línea de las álgebras asociadas a grafos uno de los problemas fundamentales es el diseño de un invariante por isomorfismo graduado, lo más completo posible. El grupo K0 graduado proporciona una conjetura plausible. Nuestra contribución a esta tarea pasa por el estudio de la entropía algebraica y sus interacciones con la dimensión de Gelfand-Kirillov. En un futuro queremos extender el estudio de la entropía algebraica al caso más general de las álgebras de Steinberg. En el campo de las álgebras de evolución seguimos queriendo obtener teorías de estructura donde la definición de un cierto anulador (en sentido generalizado), sea lo suficientemente buena como para que, módulo este ideal, obtengamos un álgebra de anulador nulo. Esto completaría resultados previos conocidos y permitiría enfocar el estudio de este tipo de álgebras en las de anulador nulo. Pensamos también que el estudio de las propiedades de: degeneración, semiprimidad, primidad, existencia de divisores absolutos de cero y elementos von Neumann regulares en álgebras de evolución se pueden caracterizar en el propio grafo del álgebra en cuestión. Otro problema en el que pretendemos indagar es la existencia de representaciones asociativas de las álgebras de evolución (en dimensión finita) en relación con el álgebra de Hopf que representa al esquema grupo de automorfismos. Por último, dentro de esta línea de investigación, se analizarán y estudiarán los sistemas dinámicos discretos en algunas álgebras gonosomales.
