Teoría de Homotopía Superior (TeHoS)

Funder: MINISTERIO DE CIENCIA E INNOVACION

Call: (MINISTERIO DE CIENCIA E INNOVACION)

Of National scope.

Dentro del marco común de la teoría de la homotopía, adoptando su enfoque más integral y contemporáneo, esta propuesta articula 7 líneas de investigación generales, cada una de las cuales contiene varios ambiciosos, pero factibles, objetivos específicos a alcanzar: G(a) OPERADAS. Bajo hipótesis suaves, demostrar que un espacio tiene el tipo de homotopía de una n-suspensión si y solo si es una coálgebra sobre la operada de los pequeños cubos. G(b) TEORÍA MODERNA DE HOMOTOPÍA RACIONAL. Atacar varios problemas y encontrar aplicaciones, todas surgiendo de la nueva perspectiva de la homotopía racional a la Quillen: Mostrar que el modelo de Quillen de un un espacio 1-conexo y tipo no finito, es homotópicamente equivalente al nuevo modelo de Lie. Encontrar modelos de Lie del espacio de clasificador Baut(X,A) de los automorfismos homotópicos del complejo relativo (X,A). Desarrollar una teoría de homotopía racional estable parametrizada sin restricción de conectividad, consistente con la nueva teoría. Demostrar que el álgebra envolvente universal del modelo de Lie de un conjunto simplicial es la construcción de barras sobre sus cadenas racionales no degeneradas. Encontrar condiciones razonables para que el (co)límite homotópico de espacios formales sea formal. G(c) PROBLEMA DE REALIZACIÓN. Resolver el "problema de realizabilidad" en varios contextos: realización de álgebras de cohomología, grupos mediante autoequivalencias de operadas, acciones de grupo mediante autoequivalencias de espacios, y conjuntos de grados de aplicaciones entre variedades. G(d) ÁLGEBRA SUPERIOR. Categorizar álgebra homológica y álgebras de evolución: demostrar un nuevo Teorema de Milnor-Moore para álgebras de Hopf no cocommutativas. Investigar la existencia de 2-resoluciones inyectivas y proyectivas en 2-categorías abelianas. Comprender la homología topológica de Hochschild de los espectros en términos de homología de Hochschild de 2-categorías y desarrollar la (co)homología de bicategorías para determinar la cohomología de los 2-tipos de homotopía a través de representaciones de 2-grupos. Desarrollar la teoría básica de estructuras torcidas sobre la construcción de barras, para definir la envolvente universal de álgebras B-infinito e investigar una generalización del Teorema de Milnor-Moore. Determinar/caracterizar propiedades intrínsecas de las álgebras de evolución y la existencia de clases que admiten clasificación. G(e) ESPACIOS DE DESCOMPOSICIÓN. Ampliar las aplicaciones de la teoría de los espacios de descomposición. Construir espacios de descomposición modelando varias álgebras de Hopf e investigar los homomorfismos con/sin signos, y automorfismos de cambio de base entre los espacios de descomposición construidos. Desarrollar una teoría de cancelación cúbica, con aplicación a la inversión de Möbius y a la construcción de Grothendieck-Quillen. Implementar espacios de descomposición en un marco de triples adecuado. G(f) COMPLEJIDAD TOPOLÓGICA Y CATEGORÍA SECCIONAL. Desarrollar y explotar una noción consistente de complejidad topológica y categoría seccional en la categoría de homotopía adecuada: demostrar que la noción correcta de categoría seccional relativa incluye cualquier invariante de Lusternik-Schnirelmann como instancia particular. G(g): TEORÍA DE LA HOMOTOPÍA SIMPLICIAL. Fundamentar las bases hacia la existencia de fibrados en la categoría de complejos simpliciales. Encontrar aplicaciones en teoría de homotopía discreta y simple.